Berechnung von Raumzeigergrößen und des Luftspaltmoments von Asynchronmaschinen mit Genesis HighSpeed und Perception-Software

Da Asynchronmaschinen einfach und robust aufgebaut sind, werden diese häufig für Traktionsaufgaben verwendet. In Bild 2.1 ist der Aufbau einer Asynchronmaschine in Variante als Kurzschlussläufer abgebildet. Im ruhenden Ständer sind drei Wicklungen angeordnet. Der Läufer ist als Kurzschlussläufer ausgeführt, d. h. die Stäbe aus Aluminium oder Kupfer werden an den Stirnseiten mit leitenden Ringen kurzgeschlossen. 

Werden in den räumlich versetzen Wicklungen drei um 120° zeitlich versetzte Ströme eingeprägt, entsteht ein magnetisches Drehfeld. Das magnetische Feld rotiert mit der synchronen Drehzahl:

(2.01)

Wie die Gleichung 2.01 zeigt, ist die synchrone Drehzahl abhängig von der Frequenz f_S der Ständerströme und der so genannten Polpaarzahl p der Asynchronmaschine. Das magnetische Drehfeld bewegt sich über den Käfigläufer hinweg. Dabei werden Spannungen in den Stäben induziert. Aufgrund der Kurzschlussringe an den Stirnseiten des Läufers fließen infolge der induzierten Spannung große Ströme in den Stäben. Entsprechend der Lenz´schen Regel entstehen dabei Kräfte, die den Läufer in Richtung des Drehfeldes beschleunigen. Dadurch wird die Drehzahldifferenz zwischen dem Läufer und dem Drehfeld verringert.

Bild 2.1: Aufbau einer Asynchronmaschine mit Kurzschlussläufer
a) Querschnitt und b) Längsschnitt durch die Maschine

2.1 Raumzeiger

Zur Erleichterung der mathematischen Beschreibung von Drehstromsystemen entwickelte Kovacs im Jahr 1959 die Raumzeigertheorie. Diese wird häufig zur Beschreibung von Regelverfahren für Drehfeldmaschinen praktisch angewandt. Die elektrischen und magnetischen Größen eines dreiphasigen Drehstromsystems lassen sich auf ein zweiphasiges, orthogonales System und ein unter gewissen Umständen vorhandenes Nullsystem abbilden. Das zweiphasige, orthogonale System lässt sich als komplexe Zahl interpretieren, welche als Raumzeiger bezeichnet wird. Ihr Realteil und ihr Imaginärteil entsprechen den Projektionen der, als Zeiger dargestellten, komplexen Zahl auf die Achsen α und β axes in der komplexen Zahlenebene. In Gleichung 2.02 ist die Berechnungsvorschrift des komplexen Raumzeigers

aus den drei Stranggrößen  x₁, x₂und x₃definiert:

(2.02)

Hierbei ist α ein komplexer Drehoperator. Das zugehörige Nullsystem wird durch (2.03) berechnet.

(2.03)

Bild 2.2 stellt den Raumzeiger  im orthogonalen Koordinatensystem dar. Der Realteil des Raumzeigers wird auf der Abszisse α und der Imaginärteil auf der Ordinate β aufgetragen. Die Stranggrößen erhält man durch die Projektion des Raumzeigers auf die um 120° verdrehten Achsen

Bild 2.2: Raumzeigerdarstellung in der komplexen Ebene

2.2 Raumzeiger-Ersatzschaltbild der Asynchronmaschine

Das Betriebsverhalten von elektrischen Maschinen wird häufig mit Ersatzschaltbildern beschrieben. In Bild 2.3 ist das vereinfachte Raumzeiger-Ersatzschaltbild einer Asynchronmaschine dargestellt. Die Ständerspannung, die der Wechselrichter auf die Asynchronmaschine schaltet, wird durch den Raumzeiger  beschrieben. Der Ständerstrom  fließt in die Asynchronmaschine. Der Ständerwiderstand wird in der Ersatzschaltung mit R_sgekennzeichnet. Die Induktivität L_μist die Magnetisierungsinduktivität der Maschine. Die Streuinduktivitäten der Maschine werden in L_σzusammengefasst. Der auf die Ständerseite umgerechnete Rotorwiderstand wird mit R_y bezeichnet. Die mechanische Drehzahl n an der Welle der Asynchronmaschine wird im Ersatzschaltbild durch die elektromechanische Kreisfrequenz ω berücksichtig. Diese beiden Größen können über die Polpaarzahl ρ.

(2.04)

Vertiefende Informationen zur Asynchronmaschine sind z. B. in [2] behandelt.

Bild 2.3: Vereinfachtes Raumzeiger-Ersatzschaltbild einer Asynchronmaschine

In Bild 3.1 sind die Zeitverläufe der Strangspannungen (u₁(t),u₂(t),u₃(t)) und der Strangströme (i₁(t),i₂(t),i₃(t))einer wechselrichtergespeisten Asynchronmaschine dargestellt. Die Zählrichtung der Ströme und Spannungen können der Übersicht in Bild 1.1 entnommen werden. Aus den gemessenen Stranggrößen können entsprechend der Gleichung 2.02 die Raumzeigergrößen berechnet werden. Da in Perception alle Variablen reelle Zahlen sein müssen, werden hier Real- und Imaginärteil des Raumzeigers getrennt voneinander berechnet. Diese Berechnung ist für die Ständerspannung und für den Ständerstrom in der folgenden Gleichung dargestellt.

(3.01)

Bild 3.1: Gemessene Stranggrößen (i₁,i₂,i₃,u₁,u₂,u₃) und die berechneten Raumzeigergrößen (i_a,i_b,u_a,u_b) (Für Perception-Anwender sind diese Messungen in der Datei: Space Vector and Air GapTorque .pNRF verfügbar. Diese Datei steht zum Download auf der HBM Homepage bereit.)

3.1   Berechnung des Ständerflusses einer Asynchronmaschine

Der Ständerfluss-Raumzeiger beschreibt den magnetischen Zustand einer Asynchronmaschine. Den Ständerfluss-Raumzeiger erhält man durch die Integration der Differenz von Ständerspannung und ohmschem Spannungsabfall am Ständerwiderstand R_s der Maschine:

(3.06)

Bei einigen Maschinen kann, je nach Anforderung an die Genauigkeit, der oftmals geringe Ständerwiderstand vernachlässigt werden. Durch die Integration ist der Ständerfluss eine stetige Größe. Obwohl die Ständerspannung, wie in Bild 3.1 dargestellt, einen pulsweitenmodulierten Verlauf besitzt, ist der Realteil  ψ_α(t) und der Imaginärteil ψ_β(t) des Ständerflussraumzeiger näherungsweise sinusförmig (Bild 3.2a). Die Bahnkurve des Ständerflussraumzeigers verläuft, wie in Bild 3.2b dargestellt, in grober Nährung auf einer Kreisbahn. Der Radius der Kreisbahn entspricht der Amplitude des Ständerflusses.

Bild 3.2: Ständerflussraumzeiger  der Asynchronmaschine
a) Zeitverlauf des Real- und Imaginärteils
b) Bahnkurve des Raumzeigers in der komplexen Ebene

3.2 Berechnung des inneren Luftspaltdrehmomentes einer wechselrichtergespeisten Asynchronmaschine

Bei Asynchronmaschinen besteht die Möglichkeit, das sogenannte innere bzw. Luftspaltmoment aus der Messung der elektrischen Spannungen oder auch Flüsse und Ströme zu berechnen. Das innere Luftspaltmoment setzt sich aus den unvermeidlichen Reibmomenten innerhalb der Maschine und dem Drehmoment an der Welle zusammen. Bei Vernachlässigung des Reibmomentes entspricht das berechnete innere Drehmoment dem mechanischen Drehmoment, welches mit einer Drehmomentmesswelle sehr genau gemessen werden kann [3].

Die Genauigkeit des berechneten Moments ist dabei abhängig von dem zugrunde liegenden Berechnungsmodell und der Genauigkeit der dabei verwendeten Maschinenparameter. Die Berechnung des inneren Drehmoments kann als redundante Information zum Messsignal einer Drehmomentmesswelle genutzt werden, da es zumindest in einer ähnlichen Größenregion des mechanischen Moments liegen sollte. Außerdem lässt sich damit das anteilige Drehmoment eines Elektromotors in Relation zu dem, mit der Messwelle gemessenen Moment des gesamten Antriebsstrangs setzen. Diese Applikation ist beispielsweise bei Hybridfahrzeugen denkbar, da Verbrennungsmotor und Elektromotor auf denselben Antriebsstrang arbeiten. Anhand des berechneten Drehmoments des Elektromotors kann das Moment des Verbrennungsmotors bestimmt werden.

Aus der Literatur ist bekannt [2], dass für Drehfeldmaschinen das innere Drehmoment aus den Ständerströmen und magnetischen Ständerflüssen berechnet werden kann:

(3.06)

Hierbei entspricht ρ der Polpaarzahl der Drehfeldmaschine. Die Ströme und Flüsse sind durch ihre Raumzeigerkomponenten dargestellt. In Bild 3.3 sind die Zeitverläufe der Ständerströme und der Flüsse sowie des daraus berechneten inneren LuftspaltmomentM_i dargestellt. Deutlich sichtbar sind die auftretenden Pendelmomente. Durch den schaltenden Betrieb des Wechselrichters werden hochfrequente Pendelmomente erzeugt. Damit die Berechnung des Luftspaltmomentes in Perception erfolgen kann, muss die Grundschwingungsperiode des Maschinenstroms richtig erkannt werden.

Bild 3.3: Zeitverläufe des Ständerstroms (i_α, i_β), des Ständerflusses (ψ_α, ψ_β) sowie des berechneten LuftspaltmomentesM_i

In diesem Artikel werden Messungen an einer wechselrichtergespeisten Asynchronmaschine vorgestellt. Um die Messergebnisse leichter auswerten zu können, werden die gemessenen Stranggrößen in sogenannte Raumzeigergrößen umgewandelt. Durch eine Integration der Ständerspannung wird der magnetische Fluss in der Asynchronmaschine berechnet. Mit diesen elektrisch gemessenen und den berechneten magnetischen Größen kann dann das innere Luftspaltmoment der Asynchronmaschine berechnet werden. Durch diese Drehmomentberechnung erhält man ein redundantes Messsignal zu einer hochgenauen Drehmomentmesswelle. Mit dem berechneten Drehmomentwert kann die Plausibilität der Messung überprüft und Messfehler können schnell erkannt werden.

5. Literatur

[1] D. Eberlein; K. Lang; J. Teigelkötter; K. Kowalski: Elektromobilität auf der Überholspur: Effizienzsteigerung für den Antrieb der Zukunft; Tagungsband 3. Tagung Innovation Messtechnik; 14. Mai 2013

[2] J. Teigelkötter: Energieeffiziente elektrische Antriebe, 1. Auflage, Springer Vieweg Verlag, 2013; ISBN 3-8348-1938-3

[3] R. Schicker; G. Wegener: Drehmoment richtig messen; Hottinger Baldwin Messtechnik GmbH 2002, ISBN 3-00-008945-4   

[4] Berechnung von Leistungsgrößen mit Perception-Software
https://www.hbm.com/de/3783/berechnung-von-leistungsgroessen-mit-perception-software/

[5] www.hbm.com

Space Vector and Air GapTorque.pNRF