Bestimmung von Werkstoffspannungen aus Dehnungsmessungen

Im elastischen Verformungsbereich eines Werkstoffs beruhen die Methoden zur Berechnung der Werkstoffspannungen aus den gemessenen Dehnungen auf dem Hookeschen Gesetz. In seiner einfachsten Form lautet das Hookesche Gesetz:

σ = ε Ε

σ = Werkstoffspannung [N/mm2]

ε = Dehnung [µm/m]

Ε = Elastizitätsmodul [N/mm2]

Diese Variante des Hookeschen Gesetzes gilt nur für den einachsigen Spannungszustand. Zweiachsige und mehrachsige Spannungszustände erfordern erweiterte Varianten.

Anmerkung: Bei Dehnungsmessungen kann immer nur der Unterschied zwischen einem bestehenden Ausgangszustand und einem später eintretenden, veränderten Zustand bestimmt werden. Der Ausgangszustand kann ein lastfreier Zustand sein, er kann aber auch ein Zustand erheblicher Vorbelastung sein, beispielsweise durch das Eigengewicht des Objekts (z.B. einer Brücke).

Vorbelastungen oder auch Eigenspannungszustände lassen sich nur dann messen, wenn ein Eingriff in das Objekt erlaubt ist, z.B. das Anbringen einer kleinen Bohrung.

Die Werkstoffspannung σ darf nur dann nach dem Hookeschen Gesetz für den einachsigen Spannungszustand nach der unten stehenden Gleichung berechnet werden, wenn die Dehnung ε in der Kraftwirkungsrichtung (0°-Richtung) gemessen wurde.

In der Querrichtung (90°-Richtung) ist trotz der messbaren Dehnung (Querkontraktion, Querdilatation) keine Werkstoffspannung vorhanden.

Man muss also, will man zu verlässlichen Ergebnissen kommen, die Kraftwirkungsrichtung kennen und in dieser Richtung die Dehnung messen. Ist diese Richtung nicht oder nur näherungsweise bekannt, dann sind Messungen und deren Auswertung wie beim zweiachsigen Spannungszustand mit unbekannten Hauptrichtungen auszuführen.

Im Aufgabengebiet der experimentellen Spannungsanalyse dürfte der einachsige Spannungszustand eher einen Ausnahmefall darstellen. Weitaus häufiger wird man den zweiachsigen Spannungszustand antreffen, dessen Ermittlung nicht mehr in der für den einachsigen Spannungszustand zutreffenden, einfachen Weise vorgenommen werden darf; dies würde zu beträchtlichen Fehlern führen.

Beim ebenen Spannungszustand treten die extremen Normalspannungen σ1 und σ2 in den rechtwinklig aufeinander stehenden Richtungen 1 und 2 auf. Man nennt die Spannungen σ1 und σ2 die Hauptspannungen und analog die Richtungen 1 und 2 die Hauptrichtungen des ebenen Spannungsfeldes. Sind die Hauptnormalspannungen und ihre Wirkungsrichtungen bekannt, dann ist der zweiachsige Spannungszustand eindeutig definiert.

Bekannte Hauptspannungsrichtungen findet man z.B. an der Oberfläche eines kreiszylindrischen Behälters unter Innendruck, an einer mit reiner Torsion beanspruchten Welle und im randzonenfreien Bereich einer gebogenen Platte.

Bei anderen Objekten und bei gleichzeitiger Einwirkung verschiedener Einflussgrößen, wie beispielsweise Normalkraft und Biegung oder Torsion und Biegung oder dergleichen müssen die Hauptrichtungen als nicht bekannt vorausgesetzt werden.

Die Hauptnormalspannungen σ1 und σ2 des zweiachsigen ebenen Spannungszustandes errechnen sich nach dem erweiterten Hookeschen Gesetz aus den gemessenen Hauptdehnungen ε1 und ε2, dem Elastizitätsmodul E des Werkstoffs und der Querzahl v des Werkstoffs zu:

 

 

 

Es wird vorausgesetzt, dass die Spannung σ3 in der 3. Hauptrichtung (senkrecht zur Oberfläche) gleich Null ist.

Zur Verminderung des Installationsaufwands eignen sich für Messungen im zweiachsigen Spannungsfeld mit bekannten Hauptrichtungen insbesondere X-Rosetten. Die Achsen der beiden Messgitter müssen übereinstimmend mit den Achsen der Hauptnormalspannungen (Hauptdehnungsrichtungen) sein.

Bei komplizierter gestalteten Objekten, bei Überlagerung verschiedener Beanspruchungsarten (Normal-, Biege- oder Torsionsbeanspruchung) oder an Störstellen (z.B. Querschnittsänderungen) ist eine Voraussage der Hauptspannungsrichtungen in aller Regel nicht möglich.

In jedem Fall, in dem die Hauptspannungsrichtungen nicht eindeutig feststehen, muss die Spannungsanalyse nach der weiter unten beschriebenen Methode durchgeführt werden.

 

 

Determination of Material Stresses from Strain Measurements

In the elastic deformation range of materials the methods of calculating the material stresses from the measured strains are based on Hooke's Law. In its simplest form Hooke's Law is:

σ= ε ⋅ Ε      

σ= material stress [N/mm2]

ε= strain [m/m]

Ε= modulus of elasticity, i.e. Young’s modulus [N/mm2]

This version of Hooke's Law only applies to the uniaxial stress state. Biaxial and multiaxial stress states require extended versions.

Note: In strain measurements, only, the difference between an initial output condition and a condition which occurs later can be determined. The initial condition may be a load-free condition, but it may also be a condition with significant pre-loading, for example due to the object's own weight as with a bridge.

Preload or also residual stress conditions can only be measured if interference with the object is allowed e.g., making a small drill hole.

The material stress σ should be calculated from the measured strain ε only, according to Hooke’s Law for the uniaxial stress state as in the equation stated above, if the strain ε is measured in the active direction of the force (0° direction).

In the transverse direction (90° direction), there is no material stress present despite the measurable strain (transverse contraction, transverse dilation).

Therefore, for reliable results the active direction of the force must be known and the strain must be measured in this direction. If this direction is unknown or only known approximately, then the measurements and their evaluation should be carried out with the biaxial stress state in unknown principal directions.

In problems in experimental stress analysis, the uniaxial stress state is more the exception rather than the rule. The biaxial stress state is met far more often, and its determination should not be undertaken with the simple method used for the uniaxial stress state; this would lead to significant errors.

For a plane stress condition, the extreme normal stresses σ1 and σ2 occur in the perpendicular directions 1 and 2. The stresses σ1 and σ2 are termed the principal stresses and similarly the directions 1 and 2 are the principal directions of the stress state. If the principal normal stresses and their active directions are known, the biaxial stress condition is unambiguously defined.

Known principal directions of stress are found, for example, on the surface of a round cylindrical vessel under internal pressure, on a shaft loaded with pure torsion, and in an area away from the edges, on a bent plate.

With other objects and with the simultaneous action of different variables, such as normal force and bending or torsion and bending, and so forth. the principal directions must be assumed to be unknown.

The principal normal stresses σ1 and σof the biaxial stress state are calculated according to the extended version of Hooke's Law from the measured principal strains ε1 and ε2, the material's modulus of elasticity E and Poisson's ratio v for the material:

 

It is assumed that the stress σ3 in the principal direction 3 (perpendicular to the surface) is equal to zero.

To simplify mounting procedures, X rosettes are suitable for measurements in the biaxial stress field with known principal directions. The axes of the two measuring grids must be mounted in alignment with the axes of the principal normal stresses (principal strain directions).

For objects of complex shape, with the superimposition of different types of loading (normal, bending or torsional loadings) or for points of inhomogeneity (e.g. changes in cross-sectional area), prediction of the principal directions of the stress state is generally not possible.

In each case where the directions of the principal stresses are not clearly defined, the stress analysis must be carried out according to the methods described below.

Analyse des zweiachsigen Spannungszustandes mit unbekannten Hauptrichtungen

Die experimentelle Spannungsanalyse mit Dehnungsmessstreifen (DMS) basiert auf dem Einsatz von DMS zur Dehnungsmessung an der Bauteiloberfläche.

Aus diesen gemessenen Dehnungen werden unter Kenntnis der Werkstoffeigenschaften (Elastiziätsmodul und Querzahl) die mechanischen Spannungen in Betrag und Richtung bestimmt. Basis hierfür ist das Hookesche Gesetz, dessen Gültigkeit sich auf den elastischen Verformungsbereich linear-elastischer Werkstoffe erstreckt.

In der experimentelle Spannungsanalyse werden sogenannte Dreimessgitterrosetten für die Dehnungsmessung eingesetzt. Diese stehen in den Ausführungen 0°/45°/90° und 0°/60°/120° zur Verfügung. Die beiden Ausführungen haben historischen Ursprung. Es ist dem Anwender überlassen, welche Ausführung eingesetzt wird.

Die 3 Messgitter der Rosetten werden mit den Buchstaben a, b und c bezeichnet. Demzufolge werden die 3 Dehnungen εa, εb und εmit einer Dreimessgitterrosette gemessen.

 

 

Messungen mit der 0°/45°/90°-Rosette

Die Berechnung der Hauptnormalspannungen σ1 und σ2 erfolgt nach der Beziehung:

 

 

Messungen mit der 0°/60°/120°-Rosette

Entsprechend der andersartigen Messgitteranordnung der Rosette erfolgt die Berechnung der Hauptnormalspannungen σ1 und σ2 nach der Gleichung:

 

Die Hauptrichtungen sind die Richtungen, in welchen die nach den Gleichungen errechneten Hauptnormalspannungen σ1 und σ2 auftreten (sie sind identisch mit den Hauptdehnungsrichtungen ε1 und ε2). Sie lassen sich nach geometrischen Beziehungen aus den mit der R-Rosette gemessenen Dehnungen εa, εb und εc bestimmen.

Die folgenden Ausführungen zielen darauf ab, dem Praktiker ein bequem und sicher zu handhabendes Schema zu liefern. Die theoretischen Aspekte des Mohrschen Spannungskreises, der die Grundlage bildet, sind in der Fachliteratur beschrieben.

Zunächst wird der Tangens eines Hilfswinkels ψ berechnet.

für die 0°/45°/90°-Rosette nach der Beziehung -

für die 0°/60°/120°-Rosette nach der Beziehung -

Anmerkung: Der Tangens eines Winkels im rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis von Gegenkathete (= Zähler Z) zu Ankathete (= Nenner N):

  

Die Abbildung unten zeigt, dass der Winkel ψ je nach den Vorzeichen von Gegenkathete und Ankathete an 4 verschiedenen Stellen des Kreises liegen kann.

Diese Mehrdeutigkeit des Tangens macht es notwendig, vor der endgültigen Berechnung der beiden oben genannten Quotienten die Vorzeichen von Zähler (Z) und Nenner (N) zu bestimmen. Dies ist wichtig, weil nur aus ihnen zu erkennen ist, in welchem Quadranten des Kreises der Winkel ψ zu finden ist.

Aus dem Zahlenwert des Tangens ist zunächst der Betrag des Winkels y zu bestimmen:

 

Anschließend ist der Winkel φ nach folgendem Schema zu bestimmen:

Der so gefundene Winkel φ ist von der Achse des Bezugsmessgitters a ausgehend im mathematisch positiven Sinn (linksdrehend) anzutragen. Die Achse des Messgitters a bildet den einen Schenkel des Winkels φ, der zweite Schenkel gibt die 1. Hauptrichtung an. Das ist die Richtung der Hauptnormalspannung σ1 (identisch mit der ersten Hauptdehnungsrichtung ε1). Der Scheitelpunkt liegt im Schnittpunkt der Messgitterachsen. Die zweite Hauptrichtung (Richtung der Hauptnormalspannung σ2) hat den Winkel φ 90°.

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