En analyse de fatigue, utilisation des techniques statistiques pour valider des données d'essai sur le terrain

Cet article décrit quelques techniques statistiques pour prendre des données mesurées et projeter quel serait le temps à prévoir et quels seraient les dommages en fatigue si des essais étaient réalisés sur des périodes beaucoup plus longues.

Résumé

Durant chaque essai sur le terrain l'ingénieur d’essai est toujours confronté à la décision de savoir à partir de quand des données suffisantes ont été rassemblées pour caractériser une opération particulière. Cet article décrit quelques techniques statistiques pour prendre en compte des données mesurées et prédire quel serait le temps à prévoir et quels seraient les dommages en fatigue si des essais étaient réalisés sur des périodes beaucoup plus longues. L’acquisition des données devient suffisante quand les dommages de fatigue calculés à la fois à partir du temps mesurée et du temps prévu convergent..

De base

Un facteur important dans la conception d'un véhicule ou d'une structure est la sévérité prévue de l'usage en service. Dans un nouveau véhicule, l'usage en service est inconnu et des essais de courte durée sont fréquemment effectués pour déterminer les charges agissant sur la structure et les efforts en résultant. L'historique de chargement pour un véhicule comporte à la fois une part déterministe et aléatoire. Par exemple, un camion benne peut avoir un cycle d'utilisation déterministe de chargement et de déchargement combiné avec une série de charges aléatoires provenant de la conduite sur divers revêtements routiers. On peut considérer les charges de cycles d'utilisation comme une variable dépendante d’une population différente et des charges de conduite. Le problème se posant à tous les ingénieurs d’essai est de déterminer quand ont-ils rassemblé assez de données pour caractériser un état d'utilisation de ce service particulier.

La figure 1 montre un historique de chargement mesuré sur le terrain pour des charges verticales de suspension à l’avant pour un véhicule tout terrain (ATV) sur une piste d’essais. L'historique a été enregistré sur  dix tours de piste.

Figure 1. Ten laps of test track

Figure 1. Dix tours d’essais  

Malgré que nous ayons une piste d’essai soigneusement contrôlée et un unique conducteur, il est facile de voir dans ce relevé une certaine variabilité du chargement pendant à chaque tour.

A partir d’une perspective de dommages en fatigue, est-ce que les données de la fig. 1 sont suffisantes pour caractériser l'utilisation en service pendant la durée de vie prévue du composant ? Il est possible de répondre à cette question en employant la variabilité de l'historique de chargement mesuré pour projeter ce que l'historique prévu des dommages et des chargements en fatigue serait si les charges étaient mesurées pendant une période plus longue.

L'analyse de la variabilité dans le domaine du temps pour des fonctions de charge et de temps n'est pas faisable ou nécessaire. En fatigue, le diagramme de Rainflow des charges a plus d'intérêt que l'historique de chargement lui-même puisque des dommages en fatigue sont calculés à partir d’eux.

Figure 2. Rainflow histogram

Figure 2.Diagramme de Rainflow

Les diagrammes bidimensionnels de Rainflow contiennent des informations à la fois sur gammes et les moyens de chargement. La figure 2 montre le diagramme de Rrainflow des données de la fig. 1 dans un format To-From. Ce type de diagramme préserve les effets moyens de contraintes qui sont habituellement importants pour l'analyse de fatigue.

Les données de la fig. 2 sont tracées comme un diagramme cumulatif de dépassement dans la fig. 3.

Figure 3. Exceedance diagram

Figure 3 Diagramme de dépassement

La courbe de dépassement pour l'historique originale de chargement est montrée du coté gauche du diagramme. Si les essais étaient mesurés sur 1000 tours de piste (donc 100 fois plus longtemps), on s'attendrait à ce que la répartition soit décalée vers la droite et ait une forme semblable. Les lignes en tiret prouvent schématiquement que des charges plus élevées seraient prévues pendant de plus longues périodes. Bien qu'il soit plus facile de visualiser le diagramme de dépassement, il perd des informations valables sur des effets moyens.

Dans ce document nous montrons comment la variabilité dans un histogramme mesuré de Rainflow peut être employée pour estimer l'histogramme prévu de Rainflow pendant de plus longues périodes. Cet histogramme extrapolé peut alors être employé pour reconstruire un nouvel historique sur une période plus longue pour l'essai ou l'analyse.

Extrapolation de Rainflow

Dressler [1] a été le premier à proposer l'extrapolation des histogrammes de Rainflow. Une description courte du concept est donnée ici. Les lecteurs peuvent se référer au document de référence [1] pour plus de détails. L'histogramme de Rainflow est traité comme une distribution de probabilité bidimensionnelle. Une fonction de densité simple de probabilité a pu être obtenue en divisant le nombre de cycles dans chaque case de l'histogramme par le nombre total de cycles. Un nouvel histogramme correspondant au nombre total de cycles totaux peut être construit en plaçant aléatoirement des cycles dans l'histogramme selon leur probabilité d'occurrence. Cependant, cette approche sera essentiellement identique qu’en multipliant les cycles de l'histogramme par un facteur d'extrapolation. Mais c'est peu réaliste. Même le même conducteur sur la même piste d’essai ne peut pas répéter un chargement identique à chaque fois. Par exemple toute les fois où un conducteur passe sur un trou, les charges seront quelque peu différentes. Ceci est clairement montré dans le relevé sur les dix tours d’essai dans la fig. 1. La charge maximale d'un événement particulier sera placée dans une case individuelle dans l'histogramme de Rainflow. Pendant les tours suivants, cette charge aura une valeur maximum différente et sera placée dans une case dans le même voisinage que le premier tour.

Figure 4. Histogram variability

Fig 4. Variabilité de l'histogramme

La fig 4 montre un histogramme de Rainflow dans une vue bidimensionnelle. Considérer l'événement allant de 2 à - 2.5. La période prochaine qui est répétée sera quelque part dans le voisinage (2, -2.5) indiqué par le grand cercle en pointillé. Il n'y a pas beaucoup de données dans cette région de l'histogramme et une variabilité considérable est prévue. Considérer après les cycles de - 2 à - 1.5. Ici il y a beaucoup plus de données et nous nous attendrions à ce que la variabilité soit beaucoup plus petite comme indiqué par le petit cercle en pointillé. L'extrapolation des histogrammes de Rainflow à essentiellement pour tâche de trouver une fonction de répartition bidimensionnelle de probabilité des données originales du Rainflow.

Pour un ensemble donné de données prises à partir d’une population continue, X, il y a beaucoup de manières de construire une distribution de probabilité avec les données. Il y a deux classes générales d’évaluations de densité de probabilité : paramétrique et non paramétrique. Dans l'évaluation paramétrique de densité, l’hypothèse est faite que l'ensemble donné des données adaptera une distribution de probabilité théorique prédéterminée. Les paramètres de forme pour la distribution doivent être estimés à partir des données. Les estimateurs non paramétriques de densité ne font aucune hypothèse sur la distribution de l'ensemble entier des données.  Un histogramme est un estimateur de densité non paramétrique. Dans le but de l'extrapolation, nous souhaitons convertir les points discrets d'un histogramme en densité continue de probabilité. Les estimateurs de Kernal [2-3] fournissent une manière commode pour estimer la densité de probabilité. La méthode peut être considérée comme un ajustement d'une distribution de probabilité supposée à une zone locale de l'histogramme. La taille de la zone locale est déterminée par la largeur de bande de l'estimateur. Ceci est indiqué par la taille du cercle dans la fig. 4. Une largeur de bande adaptative pour le kernal est déterminée par combien de données sont dans le voisinage du point considéré.

Les méthodes statistiques sont bien développées pour des régions de l'histogramme où il y a beaucoup de données. Les considérations spéciales sont nécessaires pour les régions peu abondamment peuplées [4].  La gamme prévue de charge maximum pour l'histogramme extrapolé est estimée à partir de la loi de Weibull adapté aux gammes étendues d'amplitude de charge. Cette évaluation est alors employée pour déterminer une largeur de bande adaptative pour les régions de données clairsemées de l'histogramme. Une fois que la largeur de bande adaptative est déterminée, la densité de probabilité de l'histogramme entier peut être calculée. L'histogramme prévu pour le nombre total désiré de cycles est construit en plaçant aléatoirement des cycles dans l'histogramme avec la probabilité appropriée. Il convient de noter que ce processus ne produit pas une extrapolation unique. Beaucoup d'extrapolations peuvent être faites avec le même facteur d'extrapolation ainsi que quelques informations sur la variabilité de l'historique en résultant des chargements qui peuvent être obtenus.

Les résultats pour une extrapolation de 1000 fois l'historique de chargement sont affichés dans la fig. 5. Il est plus facile de visualiser les résultats de l'extrapolation quand les résultats sont regardés en termes de diagramme de dépassement donné dans la fig. 6. Deux tracés sont montrées dans la Fig 5. Une des données dans la Fig. 5 et une autre représentation différente de 1000 répétitions de l'historique originale de chargement.

Figure 5. Extrapolated histogram

Fig 5.Histogramme extrapolé

Le tableau 1 donne les résultats de résistance à la fatigue calculés à partir de diverses extrapolations de l'historique de chargement original.  Les résistances à la fatigue représentent la durée de fonctionnement prévue de la structure en heures. Une approche simple SN a été utilisée dans les calculs. N'importe quelle technique appropriée d'analyse de fatigue peut être employée et peut être combinée avec une description probabiliste des propriétés des matériaux.

Tableau 1: Résistances à la fatigue

Historique

Vie

Maximum

Minimum

Original 

29,890

1.89

-2.12

10X

26,760

2.25

-2.50

100X

16,170

2.88

-3.25

1000X

10,190

3.25

-3.63

Comme prévu, les résistances à la fatigue calculées sont inférieures pour les plus longs historiques de chargement en raison de charges plus élevées dans les histogrammes extrapolés. Mais les charges plus élevées représentent une prévision plus réaliste des charges de fonctionnement durant la vie entière de la structure.

Figure 6. Distribution of cycles and fatigue damage

Fig 6 : Distribution des cycles et des dommages de fatigue

Une méthode efficace pour visualiser les cycles préjudiciables est de tracer la distribution des cycles et le comportement du matériau sur la même échelle suivant les indications de la fig. 6. Les propriétés des matériaux sont mesurés de sorte qu'ils aient les mêmes unités que l'historique de chargement et ce tracé représente la résistance à la fatigue prévue sous une amplitude constante de chargement. Le point de tangence des deux courbes donne une indication de la plage de cycles la plus préjudiciable. Les cycles de charge maximum de la plage ne sont pas les plus préjudiciables dans cet historique, les cycles les plus préjudiciables pour cet historique de chargement sont plutôt à environ ½ de la plage de charge maximum dans l'histogramme extrapolé.

Reconstruction de Rainflow

L'objectif de la reconstruction de Rainflow est d'obtenir un historique de temps qui aura des dommages de fatigue similaire  comme l’histogramme de Rainflow original [5]. Essentiellement, nous souhaitons exécuter un  algorithme de comptage à l’envers. En commençant par l'histogramme de Rainflow, on reconstruit un historique de temps, cycle par cycle, qui a le même algorithme de comptage. Le plus grand cycle global dans l'histogramme est connu. Dans le format To – From, l’algorithme de comptage distingue la différence entre un cycle Peak-Valley-Peak (PV) et un cycle Valley-Peak-Valley (VP). Les cycles VP sont stockés au-dessus de la diagonale de principe de l'histogramme et les cycles PV en dessous.  La ligne de l'histogramme est plus petite que la colonne pour n'importe quel cycle VP. De même, la colonne est plus petite que la rangée pour n'importe quel cycle PV. Le procédé pour insérer les cycles VP est illustré dans la fig. 7. Les nombres du côté gauche indiquent les cases, la rangée ou la colonne de l'histogramme et sont proportionnels à l'importance de l'historique résultant du chargement. L'historique de temps reconstruit est notifié P et V et le cycle à insérer est notifié r et C.

Figure 7. Inserting a VP cycle

Fig 7.Insertion d’un cycle VP

Un cycle VP (r < c) peut être inséré dans n'importe quelle inversion PV si c <= P et r > V.  Un cycle VP ne peut pas être inséré dans un cycle PV de la même grandeur.

Figure 8. Insertion of a PV cycle

Fig 8. Insertion d'un cycle PV

La fig 8 montre l'insertion d'un cycle PV. Un cycle PV (c < r) peut être inséré dans n'importe quelle inversion VP si r < P et c >= V. Un cycle PV ne peut pas être inséré dans un cycle VP de la même grandeur.

Ces deux règles simples constituent la base pour la reconstruction de Rainflow. Le processus commence par le plus grand cycle PVP ou VPV. Le prochain plus grand cycle est alors inséré dans un endroit approprié dans l'historique de temps reconstruit. Après les quelques premiers cycles, il y a beaucoup d'endroits possibles pour insérer un plus petit cycle. Tous les endroits possibles d'insertion sont déterminés et un est choisi au hasard.

En résumé

La fiabilité d'un véhicule ou d'une structure est influencée par la répartition du chargement pendant son utilisation entière de fonctionnement. Une technique pour estimer la longévité à long terme des charges mesurées à court terme a été décrite.

Références

[1] Dressler, K, B. Grunder, M. Hack and V.B. Koettgen, "Extrapolation of rainflow matrices", SAE Paper 960569, 1996
[2] Silverman, B.W. "Density estimation for statistics and data analysis" Chapman and Hall, New York, 1986
[3] Scott, D.W. "Multivariate density estimation" Wiley, New York, 1992
[4] Roth, J.S. "Statistical modeling of rainflow histograms" Materials Engineering-Mechanical Behavior Report No. 182, UILU-ENG 98-4017, University of Illinois, 1998
[5] Khosrovaneh, A.K. and N.E. Dowling, "Fatigue loading history reconstruction based on the rainflow technique", International Journal of Fatigue, Vol. 12, No. 2, 1990, 99-106

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