Calcul et représentation de mesures électriques sous forme de vecteurs dimensionnels avec le logiciel Perception d’HBM

Sommaire

Dans le domaine des systèmes de conversion d’énergie électrique,  tels que les transformateurs ou moteurs inductifs, les vecteurs dimensionnels sont fréquemment utilisés pour la représentation simplifiée et claire de quantités électriques mesurées. Des informations additionnelles, touchant au mode d’opération de ces convertisseurs d’énergie, peuvent être déterminées si les vecteurs dimensionnels, fonction du temps, sont représentés dans un plan complexe. Pour simplifier encore la représentation de ces grandeurs mesurées, les vecteurs dimensionnels peuvent être représentés dans un système de coordonnées polaires. Cet article décrit comment calculer et représenter, à partir du logiciel Perception, les vecteurs dimensionnels dans différents systèmes de coordonnées, sur la base d’une machine synchrone à excitation permanente.

1. Introduction

Sur les systèmes électriques, tels les actionneurs triphasés  cf fig 1.1, différentes quantités physiques doivent être  conditionnées, enregistrées, puis sauvegardées. Les enregistreurs graphiques Genesis HighSpeed permettent l’acquisition synchrone de toutes les quantités physiques importantes de ces systèmes électriques, à haute vitesse et sur un grand nombre de voies [1]. Pour les systèmes électriques alimentés en courant triphasé,  la représentation des grandeurs mesurées sous forme de vecteurs dimensionnels facilite la représentation graphique et l’interprétation. Les vecteurs dimensionnels peuvent aussi être utilisés pour représenter les états de fonctionnement stationnaires comme transitoires. Dans cet article, seront expliquées en premier, les équations de définition des vecteurs dimensionnels et les règles de transformation dans les différents systèmes de coordonnées. Cela sera suivi d’une explication sur la façon d’utiliser les vecteurs sur des grandeurs physiques issues de machines asynchrones à aimant permanente (PSM). Une configuration Perception a été préparée [3] pour l’essai indépendant de ces différentes méthodes.

Fig. 1.1: Genesis HighSpeed data recorder for measuring, saving and conditioning signals for physical quantities in electric drives

2. Vecteurs dimensionnels

K.P. Kovács développa la théorie des vecteurs dimensionnels en 1959 afin de faciliter la description mathématique des systèmes triphasés. Elle est souvent utilisée pour décrire les méthodes de contrôle des moteurs à induction [4]. Les grandeurs électriques et magnétiques d’un système triphasé peuvent être transposées sur un système orthogonal biphasé plus un système zéro-séquence qui n’est présent que suivant certaines conditions. Le système orthogonal biphasé peut être interprété par un nombre complexe appelé vecteur dimensionnel. Les parties imaginaire et réelle de ce nombre complexe correspondent à la projection de ce nombre complexe, représenté  sous la forme de vecteur, sur les axes α et β fixes du plan complexe. L’équation 1.01 définit les règles de calcul du vecteur complexe 

à partir des 3 variables linéaires x1, x2 and x3 :
 

α est un opérateur polaire complexe.  
Le système zéro-séquence correspondant est calculé par
 

Fig. 2.1a représente le vecteur dimensionnel    dans un système orthogonal de coordonnées.

La partie réelle de ce vecteur apparaît sur l’abscisse α, la partie imaginaire sur l’ordonnée  β. Dans ce graphique, les axes de coordonnées (α, β) sont fixes. Les amplitudes des phases en ligne peuvent être récupérées par la projection les vecteurs sur les axes a, b, c déphasés de 120°.

 

Fig. 2.1: Réalisation des vecteurs dimensionnels dans le plan complexe a) avec α, β fixes  b) dans le système polaire  

Le logiciel Perception présente des fonctions prédéfinies pour la transformation des quantités triphasées (x1, x2, x3) en vecteurs dimensionnels :

Perception présente également la fonction mathématique de transformation inverse, afin de calculer les quantités triphasées à partir des vecteurs dimensionnels :

Le détail des paramètres de transformation applicables est présenté, sous forme d’aide en ligne, lorsque les formules sont saisies dans Perception.

L’utilisation de ces fonctions de transformation permet, dès lors, les calculs dans le domaine vectoriel. Les résultats finaux peuvent ensuite être visualisés en quantités par phase.  

Le volume de traitement peut ainsi être réduit et l’interprétation des résultats facilitée par la représentation des vecteurs dans le système de coordonnées polaires. Jusqu’à présent, nous avons examiné le cas d’un système de coordonnées avec les axes α et β fixes. Maintenant, considérons les vecteurs dans le système de coordonnées d, q en rotation suivant un angle fonction du temps  γ(t), en comparaison du système de coordonnées α,β initial. La transposition des règles de transformation est simplifiée si les vecteurs sont représentés en coordonnées polaires. Le vecteur dimensionnel d’un système de coordonnées fixe est décrit, comme suit, en coordonnées polaires :

 

Comme indiqué fig. 1.1b), le vecteur dimensionnel peut être représenté dans un système de coordonnées polaires avec les axes d et q. L’indice R indique que le vecteur est représenté dans le système de coordonnées polaire.

Les vecteurs dimensionnels sont transformés d’un système de coordonnées à l’autre par multiplication avec le produit e.

La formule d’Euler e = cos(γ)+j sin(γ) peut être utilisée pour calculer les composants du vecteur dans le référentiel polaire.  

 

Perception propose les fonctions de transformation des 3 quantités  x1, x2 et x3 en vecteur dimensionnel dans le référentiel polaire.

Suivant l’application, l’angle γ requis pour la transformation peut être calculé ou mesuré au travers d’un encodeur angulaire.  

3. Machine synchrone à aimant permanent

L’utilisation des vecteurs dimensionnels dans différents systèmes de coordonnées est présentée avec l’exemple d’une machine synchrone à aimant permanent [4]. Pour simplifier la description de la machine, considérons une machine synchrone isotrope. Cela signifie que le champ magnétique peut s’étendre dans la machine dans toutes les directions. La Fig. 3.1a) montre un moteur avec la position des aimants permanents. Ce type de machine peut être considéré comme isotrope. Le nombre de paires de pôles dans la machine est de p=2. Pour simplifier la description de notre cas, la machine est décrite avec 1 seule paire de pôles, soit p=1. Le vecteur dimensionnel unique de cette machine, fig. 3.1b, sert de base à notre description.  Pour cela, nous devons prendre en considération la corrélation entre la vitesse de rotation et la fréquence électrique avec l’équation suivante

 

Fig. 3.1: a) schéma de base PSM and b) vecteur dimensionnel  PSM

Si  un encodeur angulaire est placé sur l’arbre de la machine asynchrone, le nombre de paires de pôles p et l’angle d’offset  γ0  issu de l’angle γ sont requis pour le calcul de la transformation du vecteur dimensionnel. La fonction

est  définie dans Perception et utilisé à propos. L’angle d’offset γ0 prend en considération l’offset mécanique entre le pole N du rotor et la position zéro de l’encodeur angulaire.

Un test sans charge est utilisé pour déterminer l’angle d’offset  γ0. Pour cela, l’arbre de la machine est mis en rotation mécaniquement. La  Fig. 3.2 présente la tension étoile u1 comme fonction du temps et de l’angle mécanique γmech  lu par l’encodeur angulaire. L’angle d’offset γ0 peut être lu à partir de l’offset temporel entre le passage à zéro, en pente négative, de la tension u1 et la position zéro de l’encodeur angulaire.

 

Fig. 3.2 : Courbe temporelle de la tension étoile u1,l’angle mécanique γmech et l’angle électrique γ

Les tensions étoiles induites lors de ce test sans charge sont présentées fig. 3.3. Ces 3 tensions sinusoïdales forment un système triphasé symétrique si les amplitudes des tensions sont égales en amplitude et déphasées de 120°. Les composantes du vecteur dimensionnel (uα,uβ) appartenant aux tensions triphasées sont présentées fig. 3.3a en fonction du temps. Dans un système de tension symétrique, un déphasage de 90° est établi entre les composantes  (uα,uβ).

Si les composantes du vecteur dimensionnel sont représentées dans un graphique xy, le pic de tension du vecteur décrit un cercle parfait. Si la courbe dévie de ce cercle parfait, ce sera le signe que les 3 tensions ne forment plus un système triphasé symétrique.

 

Fig. 3.3: a) Courbes temporelles des tensions u1,u2 et u3 et des composantes  uα,uβ b) Trajectoire du vecteur dimensionnel

Si le vecteur dimensionnel est représenté avec ses composantes uα et uβ dans un système de coordonnées polaires, avec ses composantes ud  et uq, ces grandeurs, qui varient dans le temps, deviennent des constantes. Les composantes ud and uq  d’un système triphasé symétrique sont représentées fig. 3.4, en fonction du temps et dans le plan complexe. Dans le plan complexe, un système triphasé symétrique est figuré par un pointeur fixe à amplitude constante.  

  

Fig. 3.4 : Courbe fonction du temps  a) des composantes  ud et uq du vecteur dimensionnel et  
b) dans le système de coordonnées polaires.

En résumé

Ce rapport présente l’acquisition avec un enregistreur numérique Genesis Highspeed et le calcul de vecteur dimensionnel avec le logiciel Perception. Les règles de transformation sont décrites, suivant différents systèmes de coordonnées, à partir des données brutes de l’enregistreur graphique Genesis Highspeed. Les systèmes de coordonnées sont présentés et décrits à l’aide du test sans charge sur une machine synchrone, utilisant différentes méthodes de calculs dans Perception. Pour des essais pratiques sur les méthodes de calculs des vecteurs dimensionnels électriques dans Perception, HBM propose un fichier exemple exploitable dans Perception [3].

Bibliographie

[1]    D. Eberlein; K. Lang; J. Teigelkötter; K. Kowalski: Elektromobilität auf der Überholspur: Effizienzsteigerung für den Antrieb der Zukunft [Electromobility in the fast lane: increased efficiency for the drive of the future]; proceedings of the 3rd conference of Innovation Messtechnik [Innovation in Measurement Technology]; May 14, 2013
[2]    Berechnung von Leistungsgrößen mit Perception-Software
[Calculating power values with Perception software] www.hbm.com/de/menu/tipps-tricks/messdatenerfassung/berechnung-von-leistungsgroessen-mit-perception-software/
[3]    www.hbm.com
[4]    J. Teigelkötter: Energieeffiziente elektrische Antriebe [Energy-efficient electric drives], 1st edition, Springer Vieweg Verlag, 2013; ISBN 3-8348-1938-3

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