Calcolo e comprensione delle grandezze misurate nella tecnologia dell'energia elettrica, quali vettori spaziali con il software HBM Perception

Sommario

I vettori spaziali vengono usati frequentemente per comprendere in modo chiaro e conciso le grandezze misurate nei sistemi di conversione dell'energia elettrica quali i trasformatori od i motori ad induzione. Informazioni addizionali riguardanti lo stato di questi convertitori di energia si possono ottenere se vengono compresi i vettori spaziali dipendenti dal tempo quali curve di luogo nel piano complesso. Per semplificare ulteriormente la raffigurazione di queste grandezze misurate, i vettori spaziali possono essere realizzati con sistemi di coordinate rotanti. Quest'articolo descrive come realizzare i vettori spaziali in diversi sistemi di coordinate usando il software Perception, tramite un esempio basato su una macchina sincrona eccitata permanentemente.

1. Introduzione

Le varie grandezze fisiche devono essere registrate, salvate e condizionate in misurazioni su sistemi relativi all'energia con un azionamento trifase, come mostrato in fig. 1.1.
I registratori dati Genesis HighSpeed consentono l'acquisizione sincrona di tutte le grandezze più importanti nei sistemi relativi all'energia, con un elevato numero di canali ed alte cadenze di campionamento [1]. Specialmente nei sistemi che vengono alimentati con corrente trifase o che generano sistemi trifase, usare i vettori spaziali per comprendere le grandezze misurate, fornisce una chiara raffigurazione che risulta facile da interpretare. Si possono usare i vettori spaziali anche per raffigurare stati operativi stazionari oltre che processi di bilanciamento dinamico. In quest'articolo, vengono innanzi tutto spiegate la definizione delle equazioni per i vettori spaziali e le regole per la trasformazione in differenti sistemi di coordinate. Segue la spiegazione su come utilizzare i vettori spaziali per comprendere le grandezze fisiche di macchine sincrone eccitate permanentemente  (PSM). È stato predisposto un Perception workbench (banco di lavoro) [3] da impiegare quando si cerca di usare questi metodi in modo indipendente.

Fig. 1.1: Registratore dati Genesis HighSpeed per misurare, salvare e condizionare i segnali delle grandezze elettriche negli azionamenti elettrici

2. Vettori spaziali

K.P. Kovács sviluppò la teoria dei vettori spaziali nel 1959 per facilitare la descrizione matematica dei sistemi trifase, che ora viene spesso usata per descrivere i metodi di controllo dei motori a induzione [4]. Le grandezze elettriche e magnetiche di un sistema trifase possono essere mappate su un sistema bifase ortogonale più un sistema di sequenza zero che è presente in certe condizioni. Il sistema bifase ortogonale può essere interpretato come un numero complesso, denominato vettore spaziale. Le parti reale ed immaginaria  del numero complesso corrispondono alle proiezioni di quest'ultimo, mostrato come un vettore sugli assi αβ nel piano complesso. L'equazione 1.01 definisce le regole per  calcolare il vettore spaziale complesso  dalle tre linee variabili x1, x2 et x3:
 


α è l'operatore della rotazione complessa.
La corrispondente sequenza zero è calcolata da
 

La Fig. 2.1a mostra il vettore spaziale     in un sistema di coordinate ortogonali.

La parte reale del vettore spaziale appare sull'ascissa α, quella immaginaria sull'ordinata β. In questa figura gli assi coordinati (α, β) sono a riposo. Le grandezze di linea si possono ottenere proiettando i vettori spaziali sull'asse quando ruotato di 120° a, b, c.

 

Fig. 2.1: Raffigurazione dei vettori spaziali nel piano complesso a) nei sistemi di coordinate α, β a riposo et b) nei sistemi di coordinate ruotate

Il software Perception offre funzioni predefinite per trasformare le grandezze trifasi  (x1, x2, x3) in grandezze vettoriali spaziali:

Perception fornisce anche funzioni matematiche per la trasformata inversa, per calcolare le corrispondenti grandezze in linea dalle grandezze vettoriali spaziali:

Il significato dei vari parametri di trasferimento è chiaramente descritto nell'aiuto in linea, disponibile quando le formule vengono assegnate in Perception.

Usando queste funzioni di trasformazione, si possono ora eseguire i calcoli nel dominio dei vettori spaziali. Poi i risultati dei calcoli possono essere nuovamente visti come  grandezze di linea.

L'impegno di calcolo può essere ridotto per molte applicazioni, mentre migliora la chiarezza dei risultati ottenuti se i vettori spaziali vengono raffigurati in sistemi di coordinate ruotate. Finora sono stati esaminati sistemi di coordinate con gli assi αβ a riposo. Ora verranno considerati i vettori spaziali in un sistema di coordinate a d, q che è ruotato ad ogni angolo dipendente dal tempo γ(t) in confronto al sistema di coordinate originale α, β. Viene semplificata la derivazione delle regole di trasformazione se i vettori spaziali vengono descritti con raffigurazione polare. Per la vista polare, il vettore spaziale nel sistema di coordinate a riposo ha la seguente notazione:

 

Come mostrato in fig. 1.1b), questo vettore spaziale può essere descritto anche in un sistema di coordinate ruotate con gli assi d et q. L'apice R indica che il vettore spaziale è raffigurato in un sistema di coordinate ruotate. Nella vista polare l'entità non varia con i differenti sistemi di coordinate, solo l'angolo deve essere aggiustato.

I vettori spaziali vengono trasformati da un sistema di coordinate all'altro moltiplicandoli per l'operatore di rotazione e.

Si può utilizzare la formula di Eulero e = cos(γ)+j sin(γ) per calcolare i componenti del vettore spaziale rotante.

 

Perception fornisce le seguenti funzioni per trasformare le tre grandezze di linea x1, x2 ed x3 in un vettore spaziale rotante.

L'angolo γ necessario per la trasformazione viene calcolato o letto da un encoder di posizione, a seconda dell'applicazione.

3. Macchina sincrona permanentemente eccitata

L'impiego dei vettori spaziali con differenti coordinate verrà spiegato basandosi sull'esempio di una macchina sincrona permanentemente eccitata [4]. Per mantenere semplice la sua descrizione verrà considerata una macchina sincrona isotropica. Ciò significa che il campo magnetico può espandersi nella macchina indipendentemente dalla direzione. La Fig. 3.1a) mostra una PMSM montata in superficie. Questo tipo di macchina può essere considerato approssimativamente isotropica. Il numero di coppie di poli nella macchina qui mostrato è p=2. Per ottenere una descrizione della macchina largamente utilizzabile, le macchine reali sono descritte come modelli con p=1 quale numero di coppie di poli. Il semplice modello di vettore spaziale della PSM in fig. 3.1b servirà ad ampliare la descrizione. A tal scopo, si deve prendere in considerazione la correlazione fra la velocità meccanica n e la frequenza elettrica f, ove

 

Fig. 3.1: a) Configurazione di base di una PSM e b) modello del vettore spaziale di una PSM

Piazzando un encoder di posizione sull'albero della macchina sincrona, si possono calcolare il numero di coppie di poli p ed un angolo di traslazione γ0 dell'angolo γ necessari per la trasformazione del vettore spaziale. La funzione 

è definita in Perception ed usata a tale scopo. L'angolo di traslazione γ0 prende in considerazione la traslazione meccanica fra il polo nord del rotore e la posizione zero dell'encoder di posizione. 

Per determinare l'angolo di traslazione γ0. si usa una prova a vuoto (senza carico). A tal scopo la macchina sincrona è fatta girare meccanicamente dall'albero. La Fig. 3.2 mostra la tensione della stella u1 quale funzione del tempo e dell'angolo meccanico γmech letto dall'encoder di posizione. L'angolo di traslazione γ0 può essere letto dalla traslazione temporale fra l'attraversamento dello zero con fianco negativo della tensione u1 e la posizione dello zero dell'encoder di posizione.

 

Fig. 3.2: Curva dipendente dal tempo della tensione a stella u1, angolo meccanico γmech ed angolo elettrico γ

Le tensioni a stella indotte nella prova a vuoto sono mostrate in fig. 3.3. Queste tre tensioni sinusoidali formano un sistema trifase simmetrico se le ampiezze delle tensioni sono eguali in magnitudo e lo sfasamento fra le tensioni è di 120°. Anche i componenti del vettore spaziale (uα, uβ) appartenenti a questa tensione trifase sono mostrati in fig. 3.3a come funzione del tempo. Dato un sistema di tensioni simmetrico, viene stabilito uno sfasamento di  90° fra i componenti del vettore spaziale (uα, uβ).

I componenti del vettore spaziale sono raffigurati in un diagramma xy, il picco della tensione del vettore spaziale descrive un cerchio, come si vede in fig. 3.3b. Se la traiettoria della curva devia da un cerchio ideale, si può notare a colpo d'occhio che le tre tensioni non formano un sistema trifase simmetrico.

 

Fig. 3.3: a) Curva dipendente dal tempo delle tensioni a stella u1,u2 ed u3 dei componenti del vettore spaziale uα,uβ b) Traiettoria della tensione del vettore spaziale

Ora, se le tensioni dei componenti del vettore spaziale uα ed uβ vengono mostrate in un sistema di coordinate ruotate con i componenti ud ed uq queste grandezze, che variano nel tempo, diventano delle grandezze costanti. I componenti ud ed uq del sistema trifase simmetrico sono mostrati in fig. 3.4, sia come funzione del tempo che nel piano complesso. Un sistema trifase simmetrico viene raffigurato nel piano complesso come un puntatore a riposo con lunghezza costante.  

Fig. 3.4: Curva dipendente dal tempo a) delle tensioni dei componenti del vettore spaziale ud ed uq e
b) della tensione del vettore spaziale in un sistema di coordinate ruotate

Conclusioni

Questa relazione presenta il condizionamento segnali con un registratore dati Genesis HighSpeed ed il software Perception, utilizzando il calcolo del vettore spaziale. Sono state descritte le regole di trasformazione per calcolare i vettori spaziali in differenti sistemi di coordinate, partendo dai dati grezzi del registratore dati Genesis HighSpeed. Sono stati presentati e spiegati i sistemi di coordinate basandosi sull'esempio della prova a vuoto (senza carico) di una macchina sincrona, utilizzando diversi metodi di raffigurazione dei vettori spaziali con Perception. Per effettuare ulteriori prove pratiche dei metodi di calcolo per i vettori spaziali nella tecnologia dell'energia, la HBM fornisce un Workbench (banco di lavoro) che gira sotto Perception [3].

Bibliografia

[1]    D. Eberlein; K. Lang; J. Teigelkötter; K. Kowalski: Elektromobilität auf der Überholspur: Effizienzsteigerung für den Antrieb der Zukunft [Elettromobilità in corsia di sorpasso: miglioramento dell'efficienza per gli azionamenti del futuro]; atti della 3a conferenza della Innovation Messtechnik [Innovazioni nella Tecnologia di Misura]; 14 Maggio 2013.
[2]    Berechnung von Leistungsgrößen mit Perception-Software
[Calcolo dei valori di potenza con il software Perception] www.hbm.com/de/menu/tipps-tricks/messdatenerfassung/berechnung-von-leistungsgroessen-mit-perception-software/
[3]    www.hbm.com
[4]    J. Teigelkötter: Energieeffiziente elektrische Antriebe [Azionamenti elettrici energeticamente efficienti], 1a edizione, Springer Vieweg Verlag, 2013; ISBN 3-8348-1938-3

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