Misurazione dei parametri di un circuito equivalente a un trasformatore

Nella figura 1 viene illustrato il principio di funzionamento di un trasformatore con due serpentine collegate tramite magnete a un nucleo ferritico.  Grazie all’elevata permeabilità del nucleo ferritico rispetto all’aria, il flusso viene diretto attraverso di esso. Ciononostante, possono verificarsi leggere perdite. Le resistenze simulano la parte ohmica delle serpentine. Per descrivere il funzionamento del trasformatore, da questo modello si deriva uno schema elettrico equivalente, come illustrato in Figura 2. Questo schema mostra il rapporto di trasmissione tra il lato primario e quello secondario di un trasformatore ideale. Gli altri effetti che si verificano sono rappresentati da componenti passivi. I flussi magnetici sono descritti tramite le induttanze di perdita oltre che dall’induttanza principale. Il resistore è collegato in parallelo all’induttanza principale e serve per simulare le perdite di ferro del materiale del nucleo, che sono costituite da perdite di correnti parassite e perdite di isteresi.

Le perdite di correnti parassite si verificano a causa di un flusso di corrente provocato da tensioni indotte. Secondo la legge di Lenz, questa corrente si oppone alla variazione che l’ha causata. Per ridurre al minimo il flusso di corrente, il nucleo ferritico viene realizzato con piastre isolate l’una dall’altra. Le perdite di isteresi sono causate dalla rimagnetizzazione periodica del nucleo ferritico, poiché è necessaria energia per allineare i magneti molecolari nel ferro (domini di Weiss). Dato che sia l’induttanza principale Lµ che la resistenza alle perdite di ferro RFe dipendono dal materiale del nucleo con permeabilità non lineare µFe, entrambe seguono un corso non lineare.

R_K = R₁ + R₂ ü²     (1)

L_K = L_1σ + L_2σ ü²   (2)

Le induttanze dovute alle perdite possono essere considerate lineari perché le loro linee di campo passano essenzialmente attraverso l’aria che presenta una permeabilità costante. Per altre considerazioni, lo schema elettrico equivalente della Figura 2 viene ulteriormente semplificato (Figura 3). Il calo di tensione su R1 e L1σ è trascurabile rispetto al calo di tensione dovuto alla resistenza alle perdite di ferro RFe e all’induzione principale Lµ in condizioni di esercizio normali. Ciò rende possibile mettere in contatto la resistenza alle perdite di ferro RFe e l’induttanza principale Lµ direttamente con i terminali in entrata. [1] Nelle equazioni (1) e (2) la resistenza ohmica R2 e l’induttanza dovuta alle perdite L2σ del lato secondario vengono convertite al lato primario e combinate in modo da formare RK e LK. Le misurazioni e i calcoli eseguiti qui di seguito fanno riferimento allo schema elettrico equivalente semplificato in questo modo. Le quantità I'2, U'2 e Z' load sono state convertite dal lato secondario al lato primario tenendo in considerazione il rapporto di trasmissione.

I valori della resistenza alle perdite di ferro RFe e dell’induttanza principale Lµ possono essere determinati con un test in condizioni di assenza di carico, come illustrato in Figura 4. Poiché questi valori presentano un comportamento non lineare, il trasformatore non caricato viene fornito con un trasformatore variabile come fonte di tensione sinusoidale con ampiezza variabile. Ciò rende possibile considerare e misurare diversi punti di carico con flusso magnetico Ψ collegato in modi diversi. Il flusso magnetico viene calcolato a partire dalla tensione applicata, in base alle seguenti formule:

Ψ = ∫▒ u ̂⋅ sin⁡(2πft)dt     (3)

Ψ = -u ̂/2πf ⋅ cos⁡(2πft)    (4)

Le grandezze acquisite tramite misurazione sono la tensione primaria u1 (t), la corrente primaria i1 (t) e la tensione secondaria u2 (t). Per determinare la resistenza dovuta alle perdite di ferro RFe e l’induttanza principale Lµ, è necessario per prima cosa definire il valore quadratico medio della tensione primaria U1, la potenza attiva del lato primario P1 e la potenza reattiva Q1. I calcoli vengono eseguiti su base ciclica. I valori dei componenti e il rapporto di trasmissione ü possono essere calcolati usando le formule (5) (6) e (7).

R_Fe = U₁²/P₁                        (5)

L_µ = 1/(2 π f) ⋅ (U₁²/Q₁)    (6)

ü = U₁/U₂                             (7)

Come illustrato in Figura 5, i valori dei componenti non sono costanti poiché dipendono dal flusso magnetico. I valori dei componenti calcolati sono una media su un’onda sinusoidale.

I valori misurati vengono esaminati nel tempo per consentire un’ulteriore analisi. Nella Figura 6 è chiaramente visibile la distorsione della corrente nel tempo (curva rossa). Il materiale del nucleo è soggetto a saturazione. La correlazione tra la densità del flusso B e la forza del campo magnetico H è evidenziata in modo molto chiaro dalla curva di isteresi. Se la geometria del nucleo è nota, la densità del flusso e la forza del campo possono essere determinate a partire dalle grandezze misurate:

B = Ψ/A_Fe        (8)

H = I/l_Fe          (9)

Visto che la geometria del nucleo del campione misurato in questo caso non è nota, la curva di isteresi in Figura 7 è rappresentata come una curva caratteristica ΨI. In Figura 8 sono illustrati anche la nuova curva e il numero di punti di carico. La nuova curva viene determinata considerando diversi punti di carico nei quali il flusso e la corrente collegati vengono acquisiti nel punto di incrocio a tensione zero. Viene prodotta quando una forza di campo viene applicata a un nucleo non magnetizzato ed è la curva caratteristica dell’induttanza principale Lµ. Inizialmente, la densità del flusso aumenta lentamente. All’aumentare della forza di campo, la densità del flusso aumenta sempre più velocemente fino a quando il nucleo raggiunge la saturazione e la densità del flusso cessa praticamente di aumentare. Se la forza di campo viene ora ridotta, la densità non ritorna sulla nuova curva, ma segue la curva di isteresi. Quando la forza di campo è uguale a zero, persiste un magnetismo residuo, detto rimanenza. La forza di campo necessaria per eliminare il magnetismo residuo è detta forza di campo coercitiva. [2]

Un altro metodo per la determinazione delle perdite di ferro previste è la formula di Steinmetz (10).

P_Fe = k ⋅ f^a ⋅ Ψ^b           (10)

La formula di Steinmetz si basa sul fatto che la superficie compresa nella curva di isteresi è uguale alle perdite di ferro. Condizione preliminare per l’applicazione della formula di Steinmetz è la presenza di tensione sinusoidale in ingresso. Le perdite di ferro per flussi collegati in modi diversi calcolate a partire dai valori misurati possono essere utilizzate per determinare i coefficienti ignoti a e b dalla formula (10) tramite interpolazione della curva (Figura 9). La curva prodotta in questo modo può quindi essere usata per stimare anticipatamente le perdite di ferro per altri punti di carico.

Nel test del corto circuito, il lato secondario è cortocircuitato tramite un’impedenza a basso valore di ohm Zload (Figura 11). La corrente è impostata sulla corrente nominale tramite un trasformatore variabile.

La corrente che passa tra l’induttanza principale e la resistenza alle perdite di ferro è trascurabile in queste condizioni di esercizio. Le grandezze acquisite tramite misurazione sono la tensione primaria u1 (t), la corrente primaria i1 (t), la corrente secondaria i2 (t) e la tensione u2 (t) sul carico. Inizialmente, il calo di tensione viene calcolato con RK e LK.

u_K (t) = u₁ (t) - ((u₂ (t))/ü)         (11)

Successivamente, uK (t) e i'2 (t) possono essere utilizzati per calcolare la potenza trasformata su RK e LK ed è possibile calcolare i valori dei componenti.

R_K = P_K / I'_2²     (12)

L_K = 1/2π f ⋅ (Q_K / I'₂²)    (13)