기사 시리즈: 실험 응력 분석의 측정 정확도 - 제3부

스트레인 게이지 기술은 다양한 종류의 오류 보상 방식을 개발하면서 지난 수십 년 동안 꾸준히 발전해 왔습니다. 하지만 아직도 측정에 부정적 영향을 미치는 효과가 존재합니다. 이 글의 목적은 실험 응력 분석에서 스트레인 게이지를 사용할 때 직면하는 각종(예방 가능한 경우가 많은) 오차 요인을 살펴보고 초기 계획 단계부터 측정불확도를 평가할 수 있는 대안을 제시하는 것입니다.

비영점 조정 방식 측정에서의 측정불확도 추정

비영점 조정 방식 측정의 핵심은 측정결과 분석을 위한 영점이 매우 중요하다는 점입니다. 그 이유는 예컨대 충돌 시험, 인장 시험, 짧은 부하 시험 등에서 분석의 관심사는 측정량의 변화에 국한되며 측정 도중에 영점 드리프트가 발생하지 않아야 하기 때문입니다(비교적 단기 측정 시험에서 일반적인 측면임).

비영점 조정 방식 측정에서 재료 여효(material after-effect) 및 스트레인 게이지 크리프(strain gauge creep) 또한 중요한 요소입니다. 따라서 이 기사에서는 이 두 요소도 다룰 것입니다. 반면에 접착제의 열팽창, 팽윤, 절연저항 감퇴, 스트레인 게이지의 온도 반응 및 비영점 조정 방식 측정의 스트레인 게이지 피로 등의 현상은 거의 관계가 없습니다.

물론 짧은 절연저항 부하 시험 도중에 측정점 파괴가 일어날 정도로 저항이 급속하게 떨어지지는 않습니다.

 

 

탄성률에 대한 공차(Tolerance)

제조업체 사양에 나와 있는 탄성률은 몇 퍼센트 정도의 불확도(탄성률 공차)를 나타냅니다. 적절한 실험실에서 탄성률을 정확히 계산하는 것은 비용이 많이 들 뿐 아니라 시험 자체를 수행할 수 없는 경우도 많습니다.

실험적인 응력 측정 또는 흔히 말하는 실험 응력 분석(ESA)에서는 상대적인 탄성률 불확도가 동일한 양의 상대적인 기계적 응력 불확도를 나타냅니다.

 

이는 재료가 불확도 5% 이내의 탄성률 값을 가질 경우 그 자체만으로도 기계적 응력의 불확도가 5%임을 의미합니다.

탄성률은 또한 영향량(influence quantity)으로서의 온도와 탄성률의 온도계수(강=-2 • 10^-4/K))에 따라 달라집니다. 상대 탄성률 변화는 제품에서 비롯됩니다.

이는 기계적 응력의 추가 불확도에 해당합니다.

예: 온도 23°C를 기준으로 강의 탄성률이 결정되었고 측정은 33°C에서 수행되었다면, 이때의 탄성률은 0.2% 감소합니다. 이 효과를 계산에 의해 보상하지 않을 경우, 탄성률 공차에 덧붙여 편차가 추가로 0.2% 발생합니다. 탄성률의 TC 자체가 온도 종속성이 있기 때문에, 이 효과의 완전한 보상은 불가능하다는 점에 유의해야 합니다.

Index of formulas

굽힘하중에 영향을 받는(변형률 증가) 측정 반경

어떤 부재가 측정 그리드에 대해 종방향으로 휘는 특성이 있는 상태에서 스트레인 게이지를 부착할 경우, 이 측정 그리드의 변형률은 부재의 표면 변형률과 대비한 편차가 발생합니다(그림 7). 이때 얻어진 측정값은 그 양이 매우 큽니다. 곡률 반경이 작으면 작을수록, 또한 부재 표면으로부터 측정 그리드의 거리가 멀면 멀수록, 그 효과도 더 커집니다.

만약 표면이 오목한 구역에 스트레인 게이지를 설치한다면 그 측정값 역시 매우 커집니다. 측정 오차를 형성하는 인자는 동일합니다. 그 역시 측정값에 배수 편차(multiplicative deviation)가 발생하는 원인을 제공하는데, 계산식은 다음과 같습니다.

 

측정 그리드에서 부재 표면까지의 매질 거리가 100μm, 곡률 반경이 100mm라고 가정할 때, 결과적으로 증가되는 변형량은 현재 변형량의 1/1000에 이릅니다. 이 예에서 부재의 실제 변형률은 측정 변형률보다 0.1%만큼 더 낮습니다. 바꿔 말하면, 변형률이 0.1%만큼 더 크게 측정된 것입니다. 곡률 반경이 작을 때에는 이러한 측정 오차가 분명히 중요한 의미를 갖습니다.

탄성 여효(Elastic after-effect)

자연 기계 부하(spontaneous mechanical loading)를 가한 후에는 변형률이 더욱 증가하는 소재가 적지 않은데, 약 30분(강의 경우 약 23°C)이 경과하면 이 현상이 사라지고, 부하를 제거하면 다시 나타납니다. 이 추가 변형량의 비율 및 자연 변형률은 소재에 따라 크게 달라집니다. 따라서 재료 여효는 양의(+의) 측정 오차를 추가적으로 유발합니다. 이는 변형량을 얻을 때만 발생합니다. 따라서 많은 측정 작업에서 이 편차를 완전히 예방할 수 있습니다.

하지만 만일 부하가 가해진 후 한참 지나서 측정값을 얻어 재료의 변형률이 1% 이상 증가(자연성 변형률 대비)할 경우, 재료 변형률 측정값이 1% 더 큰 결과를 초래합니다.

스트레인 게이지의 오정렬

스트레인 게이지가 재료 응력의 방향과 정확히 일치(단축 응력 상태)하지 않을 경우, 음의(-) 측정 오차가 발생합니다. 이때 측정된 변형률은 재료 변형률보다 그 값이 더 작습니다. 그와 같은 상대 변형률 오차는 다음과 같이 계산합니다.

 

정렬 오차가 5°이고 포아송비(Poisson's ratio)가 0.3(강)일 경우, 변형률 오차는 -1%입니다. 따라서 실제 변형률 및 재료 변형률이 1% 더 큽니다.

스트레인 게이지 크리프(creep)

재료 응력이 자연적으로 유도된 후에는 스트레인 게이지의 측정 그리드에 약간의 크리프가 발생합니다. 이 크리프는 일차적으로 접착제의 물성과 스트레인 게이지의 형상에 따라 결정되는데(짧은 측정 그리드는 중대한 영향을 미치고, 역전 길이(reversing length)가 매우 긴 스트레인 게이지는 크리프가 발생하지 않음), 그 과정 역시 온도의 영향을 받습니다. 복귀 크리프 이후에는 그리드의 변형률이 재료 변형률보다 약간 더 작아집니다. 온도 23°C에서 접착제 Z70(HBM)과 함께 ESA(HBM 형식번호 LY11-6/120, 능동 측정 그리드 길이 6mm)에 흔히 사용되는 스트레인 게이지는 1시간 내 복귀 크리프가 약 0.1%입니다. 이것은 측정된 변형률 대비 음의(-) 측정 오차 -0.1%과 상응한 값입니다. 물론 측정값이 자연적 부하 직후에 산출되었다면 편차는 더 작을 것입니다. 스트레인 게이지 크리프는 음의(-) 신호로 인해 적어도 탄성 여효에 대해서는 부분적으로 보상하고, 그에 따라 ESA에서는 완전히 무시되는 경우도 많습니다. 하지만 더 높은 온도에서 다른 접착제를 사용할 경우에는 주의가 요망됩니다. 예를 들어, 온도 70°C에서 2000 μm/m의 응력으로 접착제 X60(HBM)을 사용했을 경우, 1시간 후의 편차는 -5%에 불과합니다.

스트레인 게이지의 히스테리시스(Hysteresis)

히스테리시스도 마찬가지 원칙이 적용됩니다. 즉, 짧은 측정 그리드는 중대한 영향을 미치고, 접착제는 약간의 효과를 발생시킵니다. 접착제 Z70을 사용할 경우 변형률이 ±1000 μm/m일 때, 스트레인 게이지 LY11-6/120의 히스테리시스는 0.1%에 불과합니다. 따라서 무시할 수 있는 수준입니다.

하지만 활성 측정 그리드 길이 0.6mm의 매우 작은 스트레인 게이지(LY11-0.6/120)를 사용해야 할 경우는 히스테리시스가 증가하며, 그에 따라 변형률 또는 응력 측정의 불확도가 1% 증가합니다.

The Gauge Factor

게이지 상수의 공차

(스트레인 게이지 패키지에 명시된 제조업체의 사양에 따라) 측정 체인이 게이지 상수 공칭값에 정확히 조정되었다고 가정합니다. 이 상수는 변형률 변화와 상대 저항 변화 사이의 상관관계를 나타냅니다. 그 값은 제조업체가 실험에 의해 산정하는데, 일반적으로 게이지 상수의 불확도는 1%입니다. 아울러 게이지 상수는 제품의 패키지에도 명시되어 있으며 변형률 및 응력을 측정할 때 동일한 상대 불확도를 나타냅니다

게이지 상수의 온도 계수(TC)

게이지 상수는 온도 종속적입니다. 이러한 종속성의 신호 및 양은 그리드 합금을 측정하여 산출합니다. ESA에서는 게이지 상수 TC의 온도 종속성을 무시할 수 있습니다. 콘스탄탄(Constantan) 합금 측정 그리드의 TC는 켈빈당 약 0.01%입니다. 따라서 게이지 상수는 온도가 10K 상승할 때마다 0.1%씩 감소하므로 일반적으로 무시할 수 있는 수준입니다. 33°C에서 측정이 이루어졌다고 가정한다면, 변형률 또는 응력값의 편차는 0.1% 상승하는 데 그칩니다.

하지만 120°C에서 측정할 경우는 1%가 되므로, 이는 고려의 여지가 있습니다.

Measuring Grid Length

잘 알려진 바와 같이, 스트레인 게이지는 자체 활성표면 하에서 변형률을 집적합니다. 활성표면 하의 응력장(stress field)이 비균질성일 경우, 상대 저항 변화는 최대 국부 변형률(local strain)과 일치하지 않고 활성 측정 그리드 하의 평균 변형률과 일치합니다. 측정의 관심사는 단연 최대 변형률이므로 이것은 치명적입니다. 따라서 측정값이 희망 최대값 대비 하향편차를 발생시켜 음의 편차를 초래합니다.

이것은 주지의 현상이고 적절한 대응책도 잘 알려져 있으므로(짧은 측정 그리드), 실제 애플리케이션에서 중대 오차가 발생하는 일은 거의 없습니다. 하지만 예를 들어 보(beam)의 기저부에 가해지는 휨 응력을 측정한다고 가정할 때, 스트레인 게이지는 자체 측정 그리드 하에서 평균 변형률을 얻습니다(그림 8). 변형률의 거동은 응력과 동일합니다.

 

위의 간단한 예에서 실제로 원하는 최대 응력값은 수정 계산을 통해 쉽게 산출할 수 있습니다. 이 과정을 수행하지 않을 경우, 최대 응력으로 인한 측정 편차가 발생합니다.

그 상대 편차는 다음과 같습니다.

 

위 예에서 l2의 2% 미만인 활성 길이를 갖는 측정 그리드가 사용되었을 경우, 그 편차는 측정값의 1% 미만으로 줄어듭니다.

결국 최대 응력과 측정 응력의 비율은 언제나 측정 그리드 하의 변형률 분포에 따라 달라집니다. 유한요소법 계산으로 이 값을 알고 있을 경우, 원하는 최대값은 응력의 산술평균을 내서 계산할 수 있습니다.

물론 스트레인 게이지를 부정확한 위치에 설치한다면 편차가 발생합니다. 대개 그러한 편차는 예방이 가능하며, 또한 그래야만 합니다.

 

 

Linearity Deviations

Linearity deviation of the strain gauge

적절한 측정 그리드 재료(콘스탄탄, 카르마, 니크롬 V, 백금-텅스텐)로 제작된 스트레인 게이지는 뛰어난 선형성을 나타냅니다. 다만, 콘스탄탄 측정 그리드의 경우 응력이 클 때는 주목할 만한 편차가 나타나기도 합니다. 실제 정적 특성곡선은 2차 방정식을 사용하여 매우 정확하게(실증적으로) 설명할 수 있습니다.

다음과 같은 관계식에 따라 변형률을 계산한다면,

선형편차는 전혀 발생하지 않습니다. 하지만, 이차방정식의 구성성분이 실제 애플리케이션에서는 간단히 무시되므로, 그 결과로 수반되는 오차를 여기서 설명할 필요가 있습니다. 참값에서 계산된 변형량의 상대 편차는 변형량 그 자체만큼이나 큽니다.

최대 1000μm/m까지의 변형률에서는 상대 변형률 편차가 0.1%를 넘지 않습니다. 이는 1 μm/m에 해당하므로 무시할 수 있는 수준입니다.

변형률이 더 커지면 선형편차를 고려해야 합니다. 즉,

10,000μm/m면 1%가 되고,
100,000μm/m면 10%에 달합니다.

다행히 이는 쿼터 브리지 회로(quarter bridge circuit)의 선형편차에 의해 대부분 보상됩니다.

 

 

쿼터 브리지 회로의 선형편차

일반적으로 상대 저항 변화가 작으면 휘트스톤 브리지 회로(Wheatstone bridge circuit)를 통해 분석합니다. 위에서 언급한 것처럼, ESA에서는 대체로 측정점 하나당 하나의 스트레인 게이지가 사용됩니다. 따라서 나머지 브리지 저항은 변형률에 따라 달라집니다. 이 경우의 정확한 응력 비율 관계식은 다음과 같습니다.

비록 그 관계가 비선형적이기는 하나, 실제 측정 애플리케이션에서는 선형성이 있다고 가정합니다(그 값이 알려져 있는지 여부 및 근사식이 사용되었는지 여부는 불문함).

이 같은 단순화에 따른 상대 편차는 다음의 식으로 계산할 수 있습니다.

변형률이 1000μm/m(k = 2)일 경우, 상대 저항에 0.2%의 변동이 생깁니다.

식 17에서 계산한 상대 측정 오차는 -0.1%입니다. 이는 절대 편차 -1μm/m에 해당합니다. 참값과의 편차는 무시할 수 있는 수준입니다.

다만 위에서 언급한 바와 같이, 변형률이 더 큰 경우에는 주목할 만한 선형편차가 발생합니다. 즉,

10,000μm/m에서는 편차 -1%,
100,000μm/m에서는 편차 -9.1%.

콘스탄탄 스트레인 게이지를 사용할 경우(비선형성의 규모는 비슷하나 신호가 반대임), 두 편차가 서로를 대부분 상쇄시키므로 따로 고려할 필요가 없습니다.

하지만 어떤 경우든 완전한 보상은 불가능하다는 점을 유의해야 합니다. 특히 게이지 상수가 2에서 다소간 편차가 있고 실제 정적 특성곡선이 경험식 12와 정확히 일치하지 않는다는 점을 감안하면 더욱 그렇습니다. 

 

 

부분 불확도 요약

개별적인 불확도를 서로 연관짓기는 어렵습니다. 하지만 가능한 선에서(재료 여효, 스트레인 게이지 크리프, 스트레인 게이지의 선형편차 및 쿼터 브리지 회로), 그 효과를 어느 정도는 서로 상쇄시킬 수 있습니다. 따라서 개별 불확도와 제곱근 합을 결합하는 것이 허용됩니다. 위의 예에서 굵은 글씨로 표시된 값은 결과를 얻기 위해 사용된 것입니다.

변형률 측정 불확도는 겨우 3% 미만입니다. 응력은 측정한 값의 약 6%에 달합니다.

이 백분율을 측정값으로 곱하면 μm/m 또는 N/mm2 단위의 편차가 발생합니다. 탄성률의 불확도는 일반적으로 ESA의 비영점 조정 방식 측정에서 최대 오차값을 결정짓는 요인입니다. 영점 조정 방식에서는 추가적인 불확도를 고려해야 합니다.

To be continued ...

곧 발간될 HBM의 기사시리즈 '실험 응력 분석의 측정 정확도' 제4부를 읽어보세요.

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